Tema 1 · Electrostática en el vacío
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Tema 1
Electrostática en el vacío

Guía completa de estudio · teoría para el test y problemas para la parte de ejercicios.
Estudia de aquí — todo lo que necesitas para superar las preguntas del Tema 1 en cualquier parcial o final.

Cómo usar esta guía plan de estudio

Plan recomendado (≈ 8 h de trabajo total): primero recorre la Parte I — Teoría de principio a fin marcando los conceptos en los que dudes. A continuación trabaja la Parte II — Ejercicios: lee la receta, sigue el ejemplo resuelto y resuelve por tu cuenta uno de la Hoja de Problemas Tema 1 del proyecto. Cierra con el Resumen y el bloque de preguntas tipo-test antes del examen.

  1. PARTE I — TEORÍA (para el test de teoría)
  2. Carga eléctrica, aislantes y conductores
  3. Ley de Coulomb y principio de superposición
  4. Campo eléctrico y líneas de campo
  5. Movimiento de partículas cargadas en E uniforme
  6. Dipolos eléctricos
  7. Distribuciones continuas de carga (λ, σ, ρ)
  8. Flujo eléctrico y Ley de Gauss
  9. Conductores en equilibrio electrostático
  10. Energía potencial, potencial y equipotenciales
  11. Relación campo–potencial: E = −∇V
  12. Banco de preguntas tipo test resueltas
  13. PARTE II — EJERCICIOS (para problemas)
  14. Tipo 1 · Cargas puntuales (F, E, V, U)
  15. Tipo 2 · Campo↔Potencial (gradiente / integral)
  16. Tipo 3 · Distribuciones con simetría — Ley de Gauss
  17. Tipo 4 · Conductores y conductores concéntricos
  18. Tipo 5 · Movimiento de cargas en E uniforme
  19. Tipo 6 · Dipolos
  20. Resumen final + formulario imprimible
Parte I

Teoría para el test

Cada examen incluye un Test General (4 puntos, 10 preguntas, +0,4 / −0,1). En el Tema 1 aparecen entre 3 y 5 preguntas. Aquí tienes todo lo que se pregunta.

1.1–1.2 Carga eléctrica · aislantes y conductores

La carga: lo que necesitas saber sí o sí

i Pregunta-trampa de examen
El culombio no es unidad de fuerza, es unidad de carga. Los materiales neutros sí contienen cargas en su interior (positivas y negativas en igual cantidad). Cargas del mismo signo se repelen, no se atraen.

Aislantes (dieléctricos) vs. conductores

MaterialComportamiento¿Se puede cargar por inducción?
ConductorAporta electrones libres que se mueven por todo el materialSí (esferas en contacto + barra cargada → se separan ya cargadas)
Aislante (dieléctrico)Los electrones permanecen ligados a sus núcleos; no hay conducciónNo de forma libre — solo se polariza (las cargas se desplazan ligeramente sin abandonar el átomo)
! Error frecuente del test
En los exámenes han aparecido afirmaciones del tipo «los aislantes pueden cargarse por inducción». Es FALSA. Solo los conductores se cargan por inducción.
Si acerco una barra cargada (+) a dos esferas metálicas neutras que se tocan, y luego separo las esferas con la barra cerca, ¿cómo quedan?
La esfera más cercana a la barra (+) queda cargada negativamente (las cargas negativas han sido atraídas hacia ella); la lejana queda cargada positivamente. La carga total del sistema sigue siendo cero (conservación).

1.3 Ley de Coulomb y superposición

Ley fundamental
$$ \vec{F}_{12}=k\,\frac{q_1 q_2}{|\vec{r}_{12}|^2}\,\hat{u}_{12}\qquad\text{con } k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9\times10^{9}\;\mathrm{N\,m^2/C^2} $$
i Principio de superposición
Sobre una carga $q_i$ inmersa en un sistema, la fuerza total es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre ella todas las demás, como si actuasen una a una: $$\vec{F}_{\text{total}}=\sum_{j\ne i}\vec{F}_{ji}$$
+q₁ +q₂ F₂₁ F₁₂ distancia r
Cargas del mismo signo: las fuerzas son repulsivas y opuestas, sobre la recta que las une (3ª ley de Newton).
En el test puede preguntarte: ¿qué pasa si duplicamos la distancia? — La fuerza se reduce a la cuarta parte ($1/r^2$). Y si quieres que la fuerza se reduzca a la mitad, $D=\sqrt{2}\,L$.

1.4 Campo eléctrico y líneas de campo

Definición

Definición
$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}\quad\text{(con }q_0>0\text{ y muy pequeña)}\qquad[\vec{E}]=\mathrm{N/C}=\mathrm{V/m}$$ Campo creado por una carga puntual: $\vec{E}=k\dfrac{q}{r^2}\hat{u}_r$

El campo eléctrico es la fuerza por unidad de carga que un sistema de cargas ejerce sobre una carga prueba positiva. Es vectorial. Una vez conocido $\vec E$ en un punto, la fuerza sobre cualquier carga $q$ es $\vec F=q\vec E$.

i El campo depende de…
  • De las cargas fuente que lo generan ($q_1,q_2,\dots$).
  • Del punto del espacio donde lo calculas.
  • NO de la carga prueba que usamos para medirlo.

Líneas de campo · 5 propiedades de oro

  1. Salen de las cargas positivas y entran en las negativas.
  2. El campo $\vec E$ es siempre tangente a la línea en cada punto.
  3. Nunca se cortan dos líneas de campo (en un mismo punto el campo tiene un único valor).
  4. Donde la densidad de líneas es mayor, el campo es más intenso.
  5. En un campo uniforme, las líneas son paralelas entre sí y equidistantes.
+ carga positiva (salen) − carga negativa (entran)
Las líneas son radiales y su densidad disminuye al alejarse → el campo decrece.
! Trampas frecuentes del test
  • «Las líneas son paralelas a las superficies equipotenciales» → FALSO. Son perpendiculares.
  • «El campo apunta hacia potenciales mayores» → FALSO. Apunta hacia potenciales menores.
  • «Las líneas de campo son cerradas» → FALSO (en electrostática). Las líneas de campo magnético sí.

1.5 Movimiento de partículas cargadas en E uniforme

Una partícula de carga $q$ y masa $m$ en un campo uniforme $\vec E$ sufre una fuerza $\vec F=q\vec E$ y una aceleración constante $\vec a=\dfrac{q}{m}\vec E$. Toda la trayectoria depende de cómo entra la partícula:

CasoTrayectoriaFórmulas
$\vec v_0\parallel \vec E$ MRUA (rectilíneo uniformemente acelerado o decelerado, según el signo) $v=v_0+at$, $\;x=v_0 t+\tfrac{1}{2}at^2$
$\vec v_0\perp \vec E$ Parabólica (MRU en el eje de $\vec v_0$, MRUA en el eje de $\vec E$) $x=v_0 t$, $\;y=\tfrac{1}{2}\dfrac{qE}{m}t^2$
$\vec v_0=0$ MRUA partiendo del reposo en la dirección de $\vec E$ (si $q>0$) o contraria (si $q<0$) $v=at$, $\;x=\tfrac{1}{2}at^2$
✓ Truco que cae siempre
Para frenar una partícula, la fuerza eléctrica debe ser opuesta a la velocidad. Como $\vec F=q\vec E$:
  • Partícula positiva + $\vec v_0$ paralela a $\vec E$ (mismo sentido) → acelera.
  • Partícula positiva + $\vec v_0$ paralela a $\vec E$ (sentido contrario) → frena.
  • Partícula negativa + $\vec v_0$ paralela a $\vec E$ (mismo sentido) → frena.
Si entra perpendicular al campo, jamás puede frenarse: la fuerza es perpendicular a $v_0$ inicial y la velocidad va aumentando su módulo (acelera en una dirección, no en la otra) → parabólica.

1.6 Dipolos eléctricos

Un dipolo es un par de cargas iguales y opuestas $+q$ y $-q$ separadas una distancia $d$. Su momento dipolar es un vector que va de la negativa a la positiva:

Momento dipolar
$$\vec p = q\,\vec d\qquad |\vec p|=q\,d\qquad[\vec p]=\mathrm{C\cdot m}$$

Comportamiento en un campo $\vec E$ uniforme

Ángulo $\theta$ entre $\vec p$ y $\vec E$TorqueEnergía $U$Situación
$0°$ (paralelos)$0$$-pE$ (mínima)Equilibrio estable
$90°$ (perpendiculares)$pE$ (máximo)$0$Va a girar para ponerse paralelo
$180°$ (antiparalelos)$0$$+pE$ (máxima)Equilibrio inestable
i La pregunta clásica del test
«Un dipolo está perpendicular a un campo uniforme. Si lo soltamos…» → gira hasta poner $\vec p$ paralelo a $\vec E$ (es la posición de mínima energía). No describe MRU, no se queda quieto.

Campo creado por un dipolo en su eje perpendicular (lejos)

Punto P muy lejos sobre la mediatriz
$$\vec E\approx -k\,\frac{\vec p}{y^3}\qquad\text{(dirección opuesta a }\vec p\text{)}$$

El campo de un dipolo decrece como $1/r^3$, mucho más rápido que el de una carga puntual ($1/r^2$).

1.7 Distribuciones continuas de carga

Cuando la carga está repartida en una región del espacio en lugar de concentrada en puntos, usamos densidades de carga:

Tipo de distribuciónDensidadCarga totalUnidades
Lineal (hilo, anillo)$\lambda=\dfrac{dq}{d\ell}$$Q=\displaystyle\int\lambda\,d\ell$ — uniforme: $Q=\lambda L$C/m
Superficial (placa, esfera hueca)$\sigma=\dfrac{dq}{dS}$$Q=\displaystyle\int\sigma\,dS$ — uniforme: $Q=\sigma S$C/m²
Volumétrica (esfera maciza, cilindro)$\rho=\dfrac{dq}{dV}$$Q=\displaystyle\int\rho\,dV$ — uniforme: $Q=\rho V$C/m³
✓ Idea clave
En una distribución continua, el campo se calcula sumando (integrando) las contribuciones $d\vec E=k\dfrac{dq}{r^2}\hat u_r$ de cada elemento $dq$. En la práctica, cuando hay simetría, se usa la Ley de Gauss en vez de integrar.

1.8–1.9 Flujo eléctrico y Ley de Gauss

Flujo eléctrico

Definición
$$\Phi=\int_S \vec E\cdot d\vec A=\int_S E\,\cos\theta\,dA$$

Mide cuántas líneas de campo atraviesan una superficie. Es un escalar con signo:

La Ley de Gauss

Ecuación fundamental
$$\boxed{\oint_{S\text{ cerrada}}\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{interior}}}{\varepsilon_0}}$$

El flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada dividida por $\varepsilon_0$. No importa la forma de la superficie ni dónde estén las cargas exteriores: solo cuenta la carga del interior.

! Tres preguntas-trampa muy frecuentes
  • «El flujo a través de una superficie cerrada que rodea una carga exterior es proporcional a esa carga» → FALSO. Es cero, porque entran tantas líneas como salen.
  • «La Ley de Gauss solo se aplica a cargas puntuales» → FALSO. Se aplica a cualquier distribución.
  • «Si el flujo es cero, no hay campo» → FALSO. Por ejemplo un dipolo dentro de una esfera tiene $\Phi=0$ pero el campo dentro no es nulo.

Resultados de oro (memorízalos)

DistribuciónCampoDirección
Hilo infinito, $\lambda$$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}$Radial al hilo
Plano infinito, $\sigma$$E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (uniforme)$\perp$ al plano, hacia afuera si $\sigma>0$
Esfera maciza no conductora, $\rho$$r \lt R:\;E=\dfrac{\rho\,r}{3\varepsilon_0}$
$r\ge R:\;E=k\dfrac{Q}{r^2}$		Radial
Esfera conductora, $Q$$r \lt R:\;E=0$
$r\ge R:\;E=k\dfrac{Q}{r^2}$		Radial (en el exterior)
Cilindro macizo de radio R, $\rho$$r \lt R:\;E=\dfrac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}$
$r\ge R:\;E=\dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon_0\,r}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}$		Radial al eje

1.10 Conductores en equilibrio electrostático

Cuatro propiedades son sagradas. Caen en todos los exámenes:

  1. En el interior del conductor, $\vec E=0$. (Si hubiera campo, los electrones libres se moverían y no estaría en equilibrio.)
  2. La carga neta se distribuye en la superficie (nunca en el volumen interior).
  3. El campo exterior en la superficie es perpendicular a ella (no puede tener componente tangencial, porque movería las cargas).
  4. En la superficie hay una discontinuidad: el campo pasa de $E=0$ dentro a $E=\sigma/\varepsilon_0$ justo fuera.
Campo en la superficie
$$E_{\text{exterior, justo fuera}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
i Densidad de carga y forma
En un conductor cargado de forma irregular, la densidad superficial es mayor donde el radio de curvatura es menor (puntas, aristas). Por eso los pararrayos terminan en punta.

Esfera conductora vs. esfera no conductora

Tipo$E$ dentro$E$ fuera$V$ dentroDistribución de carga
Conductora$0$$kQ/r^2$$kQ/R$ (constante)Solo en la superficie
No conductora, $\rho$ uniforme$kQr/R^3$$kQ/r^2$$\frac{kQ}{2R}\big(3-\frac{r^2}{R^2}\big)$En todo el volumen

Corteza conductora hueca con carga $Q$ en el centro

Caso clásico que cae muchísimo. Si la corteza es neutra:

1.11–1.14 Energía potencial, potencial y equipotenciales

Fuerza conservativa y energía potencial

El campo eléctrico en el vacío es conservativo: el trabajo de la fuerza eléctrica entre dos puntos no depende del camino, solo de los puntos inicial y final.

Definiciones
$$ U(r)=k\,\frac{q\,q_0}{r}\qquad V(r)=\frac{U(r)}{q_0}=k\,\frac{q}{r}\qquad\text{con }U(\infty)=V(\infty)=0$$

Relación trabajo–energía–potencial

Cuatro fórmulas que se usan SIEMPRE
$$W_{A\to B}^{\,\text{eléct}}=U(A)-U(B)=q_0\big[V(A)-V(B)\big]=-q_0\,\Delta V$$ $$\Delta V=V(B)-V(A)=-\int_A^B \vec E\cdot d\vec\ell$$ $$\text{Conservación: }\;U(A)+E_c(A)=U(B)+E_c(B)$$
✓ El signo del trabajo, sin pensarlo
Una carga positiva dejada libre se mueve hacia potenciales menores (el campo la empuja hacia donde V decrece). En ese movimiento, $W^{\text{elect}}>0$ y la energía cinética aumenta a costa de $U$ que disminuye.

Energía electrostática de un sistema de cargas

Trabajo de montar el sistema
$$U_{\text{sistema}}=k\sum_{i \lt j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}$$

Es el trabajo necesario para traer todas las cargas desde el infinito hasta sus posiciones, una a una. Para 3 cargas: $U=k\left(\dfrac{q_1q_2}{r_{12}}+\dfrac{q_1q_3}{r_{13}}+\dfrac{q_2q_3}{r_{23}}\right)$.

Superficies equipotenciales

1.15 Relación entre campo y potencial

La relación fundamental
$$\boxed{\vec E=-\vec\nabla V=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\hat\imath+\frac{\partial V}{\partial y}\hat\jmath+\frac{\partial V}{\partial z}\hat k\right)}$$
i Dos direcciones para el mismo problema
  • Si te dan $V(x,y,z)$ → calcula $\vec E$ con derivadas parciales (con un signo menos).
  • Si te dan $\vec E(x,y,z)$ → calcula $V$ integrando: $V(B)-V(A)=-\displaystyle\int_A^B\vec E\cdot d\vec\ell$.
Si en una región el potencial es constante, entonces $\vec E=0$. Pero ojo: lo contrario también es cierto — si $\vec E=0$ en una región, $V$ es constante (no necesariamente cero).
Ejemplo tipo: $V(x,y,z)=2x^2+3yz$ → $\vec E=-(4x,\,3z,\,3y)$. En $(0,1,0)$: $\vec E=(0,0,3)$ → apunta en la dirección $+z$.
Cuidado con el signo: el examen incluye opciones con y sin signo para confundirte.

TEST Banco de preguntas resueltas (sacadas de los exámenes del proyecto)

Estas son las preguntas-tipo que se repiten año tras año en los parciales y finales. Practica taparlas y responder:

El culombio (C) representa la unidad de fuerza eléctrica en el SI.
FALSO. El culombio es unidad de carga; la fuerza se mide en newtons.
En un sistema de cuerpos cargados y aislados, la carga del sistema se conserva.
VERDADERO. Es una de las dos propiedades básicas de la carga (cuantización + conservación).
Los aislantes pueden cargarse por inducción.
FALSO. Solo los conductores. Los aislantes solo se polarizan.
La fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas depende del valor de sus masas.
FALSO. Sólo depende de cargas y distancia (la ley de Coulomb no contiene masa).
La ley de Gauss del campo eléctrico relaciona el flujo a través de una superficie cerrada con la carga existente en su interior.
VERDADERO. Es exactamente lo que dice la ley.
Las líneas del campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales.
VERDADERO. Es la consecuencia de $\vec E=-\nabla V$: el gradiente es perpendicular a las equipotenciales.
El trabajo necesario para mover una carga sobre una superficie equipotencial depende de los puntos inicial y final.
FALSO. El trabajo es siempre cero sobre una equipotencial, independientemente del camino, la carga y la distancia.
En el interior de un conductor cargado en equilibrio, el campo es nulo y hay carga distribuida por todo su volumen.
FALSO. Sí es cierto que $E=0$ dentro, pero la carga no está en el volumen; toda está en la superficie.
Una esfera conductora hueca encierra una carga $+Q$ puntual en su centro. Si conectamos su superficie exterior a tierra, ¿qué pasa?
La superficie exterior se descarga (la $+Q$ que se había inducido se va a tierra). Queda $-Q$ en la superficie interior, $E=0$ y $V=0$ en el exterior. El campo dentro del hueco sigue siendo el de $+Q$.
Un dipolo está orientado perpendicular a un campo uniforme. Si lo dejamos libre…
Gira hasta poner su momento dipolar $\vec p$ paralelo a $\vec E$ (es la posición de mínima energía $U=-pE$).
Una partícula cargada entra en un campo eléctrico uniforme con velocidad perpendicular a $\vec E$. Su trayectoria es…
Parabólica (MRU en una dirección, MRUA en la otra). Es el caso del «tiro horizontal» eléctrico.
Si en una región del espacio el potencial es constante, ¿qué pasa con el campo?
$\vec E=-\nabla V=0$. No hay campo. (Pero el potencial puede ser cualquier constante, no necesariamente cero.)
El campo eléctrico que crea una placa infinita uniformemente cargada en sus inmediaciones…
Es uniforme, perpendicular al plano y de módulo $\sigma/(2\varepsilon_0)$. No depende de la distancia.
Si el potencial eléctrico es $V(x,y,z)=2x^2+3yz$, ¿hacia dónde apunta $\vec E$ en el punto $(0,1,0)$?
$\vec E=-\nabla V=(-4x,-3z,-3y)$. En $(0,1,0)$: $\vec E=(0,0,-3)$. Apunta en sentido negativo del eje Z. (Trampa: hay que mirar el signo.)
Si duplicamos la distancia entre dos cargas, ¿cómo cambia la fuerza?
Se reduce a la cuarta parte, porque $F\propto 1/r^2$. Para reducirla a la mitad, hay que poner la distancia $\sqrt 2 L$.
En el interior de una esfera cargada, el campo eléctrico varía linealmente con la distancia al centro. ¿De qué tipo es la esfera?
Es una esfera dieléctrica (no conductora) con carga distribuida uniformemente en el volumen. Dentro $E=\rho r/(3\varepsilon_0)$, linealmente con $r$.
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es negativo. ¿Qué podemos decir?
El campo es entrante: hay más líneas que entran que salen. Eso implica carga interior negativa.
Parte II

Ejercicios de problemas

La 2ª parte del examen vale 6 puntos (≈3 puntos por problema, todos los apartados puntúan igual). Los problemas de Tema 1 caen siempre — los he clasificado en 6 tipos. Estudia la receta, sigue el ejemplo resuelto y haz los problemas de la hoja con los mismos pasos.

Tipo 1 Cargas puntuales: F, E, V, U

Te dan varias cargas puntuales en posiciones conocidas. Te piden: el campo $\vec E$ y/o la fuerza $\vec F$ sobre una de ellas, el potencial $V$ en un punto, la energía $U$ del sistema, y a veces la velocidad final usando conservación.

Receta paso a paso
  1. Haz el dibujo en ejes XY con todas las cargas en su posición y el punto P (carga prueba) marcado.
  2. Para cada carga fuente $q_i$, calcula:
    • El vector $\vec r_{iP}$ desde $q_i$ a $P$ y su módulo.
    • El vector unitario $\hat u_{iP}=\vec r_{iP}/|\vec r_{iP}|$.
    • El campo $\vec E_i=k\,q_i/|\vec r_{iP}|^2\,\hat u_{iP}$ (con el signo de $q_i$).
  3. Suma vectorialmente: $\vec E(P)=\sum_i \vec E_i$. (Esto da componentes $E_x,E_y$.)
  4. Fuerza sobre la carga prueba: $\vec F=q_0\,\vec E(P)$.
  5. Potencial (escalar, suma algebraica): $V(P)=\sum_i k\,q_i/|\vec r_{iP}|$.
  6. Energía de la carga prueba en P: $U(P)=q_0\,V(P)$.
  7. Si te piden la velocidad cuando la carga se suelta y va a otro punto Q: usa conservación de la energía
    $U(P)+E_c(P)=U(Q)+E_c(Q)\;\Rightarrow\;\frac{1}{2}mv_Q^2=U(P)-U(Q)$.
  8. Si te piden trabajo del campo de A a B: $W^{\text{eléct}}_{A\to B}=q_0[V(A)-V(B)]=U(A)-U(B)$. Si sale positivo, el campo favorece el movimiento.
Ejemplo resuelto · Problema Tipo 1
Problemas Tipo · Tema 1

Enunciado: En el plano $XY$ hay tres cargas: $q_1=+2$ nC en $A(0,0)$, $q_2=-2$ nC en $B(2,0)$ y $q_3=+1$ nC en $C(0,1)$ (todo en metros). Una carga prueba $q_0=+2$ pC y masa $m=10^{-12}$ kg está en $P(1,1)$. Calcula $\vec E(P)$, $\vec F$ sobre $q_0$, $V(P)$, $U$ de $q_0$ en P. Si quitamos $q_1$ y $q_2$ y soltamos $q_0$ en P, ¿con qué velocidad llega a $M(2,1)$?

Vectores de posición
$\vec r_{AP}=(1,1)-(0,0)=(1,1)$, $|\vec r_{AP}|=\sqrt 2$, $\hat u_{AP}=(1,1)/\sqrt 2$.
$\vec r_{BP}=(1,1)-(2,0)=(-1,1)$, $|\vec r_{BP}|=\sqrt 2$, $\hat u_{BP}=(-1,1)/\sqrt 2$.
$\vec r_{CP}=(1,1)-(0,1)=(1,0)$, $|\vec r_{CP}|=1$, $\hat u_{CP}=(1,0)$.
Campos individuales (con $k=9\times10^9$)
$\vec E_1=k\dfrac{2\times10^{-9}}{(\sqrt 2)^2}\cdot\dfrac{(1,1)}{\sqrt 2}=9\,(1,1)/\sqrt 2$ N/C $\approx (6{,}36;\;6{,}36)$ N/C.
$\vec E_2=k\dfrac{-2\times10^{-9}}{2}\cdot\dfrac{(-1,1)}{\sqrt 2}=-9\,(-1,1)/\sqrt 2$ $\approx(6{,}36;\;-6{,}36)$ N/C (signo de la carga, ojo).
$\vec E_3=k\dfrac{1\times10^{-9}}{1}\cdot(1,0)=9\,(1,0)=(9;\;0)$ N/C.
Campo total
$\vec E(P)=\vec E_1+\vec E_2+\vec E_3\approx(21{,}7;\;0)$ N/C. Está dirigido en $+x$.
Fuerza sobre $q_0$
$\vec F=q_0\vec E=2\times10^{-12}\cdot(21{,}7;\;0)\approx(4{,}3\times10^{-11};\;0)$ N.
Potencial en P
$V(P)=k\sum q_i/r_i=9\times10^9\left(\dfrac{2\times10^{-9}}{\sqrt 2}+\dfrac{-2\times10^{-9}}{\sqrt 2}+\dfrac{1\times10^{-9}}{1}\right)=9$ V.
Las dos primeras se cancelan; queda $V=9$ V.
Energía de $q_0$ en P
$U(P)=q_0\,V(P)=2\times10^{-12}\cdot 9=1{,}8\times10^{-11}$ J.
Velocidad en M con solo $q_3$
Distancia de $q_3=(0,1)$ a $M(2,1)$: $r=2$ m → $V(M)=k(1\times10^{-9})/2=4{,}5$ V.
Distancia a P: $1$ m → $V(P)=9$ V. $\Delta U=q_0(V(M)-V(P))=2\times10^{-12}(4{,}5-9)=-9\times10^{-12}$ J.
Conservación: $\Delta E_c=-\Delta U=9\times10^{-12}$ J → $v=\sqrt{2\cdot 9\times10^{-12}/10^{-12}}=\sqrt{18}\approx 4{,}24$ m/s.
✓ Cómo plantar el cálculo sin equivocarte
Antes de meter números, deja todo en función de $k$, las cargas $q_i$ y las distancias. Sustituye solo al final. Y haz las componentes $x$ e $y$ por separado.

Tipo 2 Campo ↔ Potencial

Dos variantes:

Receta — Dada $V$, sacar $\vec E$
  1. Calcula las derivadas parciales $\partial V/\partial x,\partial V/\partial y,\partial V/\partial z$.
  2. $\vec E=-(\partial_x V,\partial_y V,\partial_z V)$. Ojo al signo menos.
  3. Si te piden el campo en un punto concreto, sustituye sus coordenadas.
  4. Si te piden trabajo entre dos puntos: $W=q_0[V(A)-V(B)]$.
Receta — Dada $\vec E$, sacar $V$
  1. Verifica primero que es conservativo (lo es siempre en electrostática del Tema 1, no te preocupes).
  2. Integra cada componente con la regla:
    $V(x,y,z)=-\displaystyle\int E_x\,dx + g(y,z)$, luego ajusta $g$ con las otras componentes.
  3. Imponer la condición $V(0,0,0)=0$ (o la que te den) determina la constante.
Ejemplo resuelto · $\vec E\to V$
Problema Tipo 2

Enunciado: En el plano XY tenemos $\vec E(x,y)=-2x\,\hat\imath-4y\,\hat\jmath$ N/C. Calcula $V(x,y)$ con $V(0,0)=0$. Dibuja las equipotenciales $V=2,4,6$ V. ¿Cuánto trabajo cuesta llevar $q=5$ pC desde el origen hasta $P(2,1)$?

Integramos $E_x$
$V(x,y)=-\displaystyle\int E_x\,dx=-\int(-2x)\,dx=x^2+g(y)$.
Comprobamos con $E_y$
$-\partial_y V=-g'(y)=E_y=-4y$ → $g'(y)=4y$ → $g(y)=2y^2+C$.
Aplicamos $V(0,0)=0$
$0=0+0+C$ → $C=0$. Por tanto $\boxed{V(x,y)=x^2+2y^2}$.
Equipotenciales
$V=2$ → $x^2+2y^2=2$ (elipse). $V=4$ y $V=6$ son elipses más grandes con la misma forma. Las dibujas como elipses concéntricas alrededor del origen.
Trabajo
$V(2,1)=4+2=6$ V. $V(0,0)=0$. $W_{O\to P}=q[V(O)-V(P)]=5\times10^{-12}(0-6)=-3\times10^{-11}$ J. Negativo: el campo se opone al movimiento (estás llevando una carga positiva hacia mayor potencial → trabajo en contra del campo).

Tipo 3 Distribuciones con simetría — Ley de Gauss

Caen siempre. Te dan una distribución con simetría (esférica, cilíndrica o plana) y te piden el campo y el potencial en función de la distancia $r$.

Receta universal
  1. Identifica la simetría: esférica → superficie de Gauss esférica; cilíndrica → cilindro; plana → cilindro perpendicular o «caja» con bases paralelas al plano.
  2. Razona la dirección de $\vec E$ por la simetría (radial, perpendicular al plano, etc.). El campo solo depende de una variable.
  3. Distingue regiones según los radios o distancias del problema. Habitualmente: $rR_2$, etc.
  4. Calcula $Q_{\text{interior}}$ en cada región. Solo la carga que queda dentro de la superficie de Gauss.
  5. Aplica Gauss: $E\cdot A_{\text{eff}}=Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ → despeja $E$. ($A_{\text{eff}}$ es el área por la que el campo realmente sale: $4\pi r^2$ esfera, $2\pi r L$ cilindro lateral, $2A$ las dos bases del cilindro plano.)
  6. Para el potencial: integra desde infinito hacia dentro, $V(r)=-\int_\infty^r E\,dr'$. Como $V$ es continua, empalma los tramos.
Ejemplo · Esfera no conductora con $\rho$ uniforme
Problema 13 de la hoja

Enunciado: Cilindro muy largo de radio $R$ con densidad $\rho$ uniforme. Calcula $\vec E$ dentro ($rR$).

Simetría: cilíndrica → $\vec E=E(r)\hat u_r$ (radial al eje). La superficie de Gauss será un cilindro de radio $r$ y longitud $L$ coaxial con la distribución.
Flujo: solo a través de la superficie lateral (las bases tienen $\vec E$ paralelo a ellas → $\Phi_{\text{bases}}=0$). $\Phi=E\cdot 2\pi r L$.
$r>R$ (fuera): $Q_{\text{int}}=\rho\cdot\pi R^2 L$. Gauss: $E\cdot 2\pi r L=\rho\pi R^2 L/\varepsilon_0$ → $\boxed{E=\dfrac{\rho R^2}{2\varepsilon_0\,r}}$.
$r: $Q_{\text{int}}=\rho\cdot\pi r^2 L$ (solo lo que queda dentro de la superficie de Gauss). Gauss: $E\cdot 2\pi r L=\rho\pi r^2 L/\varepsilon_0$ → $\boxed{E=\dfrac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}}$.
Comprobación: en $r=R$ ambas expresiones dan $E=\rho R/(2\varepsilon_0)$. Continuo ✓ (porque la distribución es volumétrica; si fuese superficial, habría salto).
✓ Plantillas que tienes que saber recitar
Geometría$E$ exterior$E$ interior
Esfera maciza, $\rho$ uniforme, radio $R$$kQ/r^2$$kQr/R^3$
Esfera conductora cargada$kQ/r^2$0
Cilindro macizo, $\rho$ uniforme$\rho R^2/(2\varepsilon_0 r)$$\rho r/(2\varepsilon_0)$
Hilo / cilindro lineal $\lambda$$\lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$ en cualquier punto fuera del hilo
Plano infinito $\sigma$$\sigma/(2\varepsilon_0)$, uniforme a cada lado

Tipo 4 Conductores y conductores concéntricos

Variante avanzada del Tipo 3. Tienes dos o más conductores, normalmente esféricos y concéntricos, posiblemente con un hueco. Te piden: las densidades superficiales en cada superficie, el campo en cada región, el potencial en cada región, y a veces qué pasa al conectar a tierra.

Receta
  1. Dibuja el sistema con sus radios $a,b,c\dots$ y las cargas dadas.
  2. Usa que $E=0$ dentro de cada conductor. Por Gauss aplicado dentro del metal: la carga total encerrada por una superficie de Gauss en el interior del metal debe ser cero. Eso fija las cargas inducidas en las caras internas.
  3. La conservación de la carga de cada conductor te da las cargas en las caras externas.
  4. Calcula densidades: $\sigma=q/(4\pi R^2)$ en cada superficie.
  5. Para el campo en cada región, aplica Gauss con la carga interior correspondiente.
  6. Para el potencial, integra desde infinito trozo a trozo, con $V$ continua en los bordes. Recuerda: dentro de cada conductor, $V$ es constante (= valor en la superficie).
  7. Conexión a tierra de una superficie ⇒ el potencial de esa superficie pasa a 0 → toda la carga necesaria para conseguirlo huye a tierra. Suele anular el campo exterior.
Ejemplo · Conductor + corteza conductora concéntrica
Problema Tipo 3 con soluciones

Enunciado: Esfera conductora de radio $a$ con carga $+4Q$. Concéntrica, una corteza conductora de radios interior $b$ y exterior $c$ ($a

Cargas inducidas: dentro de la corteza, $E=0$. Una superficie de Gauss entre $b$ y $c$ encierra carga total 0 → la cara interior $r=b$ tiene $-4Q$. Conservación de la corteza: $-Q=$ (carga en $b$) + (carga en $c$) = $-4Q+q(c)$ → $q(c)=+3Q$.
Densidades: $\sigma(a)=\dfrac{4Q}{4\pi a^2}=\dfrac{Q}{\pi a^2}$; $\sigma(b)=\dfrac{-4Q}{4\pi b^2}=-\dfrac{Q}{\pi b^2}$; $\sigma(c)=\dfrac{3Q}{4\pi c^2}$.
Campos por regiones (radial):
$r $a $b $r>c:\;Q_{\text{int}}=4Q+(-Q)=3Q\Rightarrow E=k\dfrac{3Q}{r^2}$.
Potencial (integrando desde infinito):
$r>c:\;V=3kQ/r$.
$b $a $r
Si conectamos $c$ a tierra: $V(c)=0$. La carga $+3Q$ que estaba en $r=c$ se va a tierra. La carga en $r=b$ sigue siendo $-4Q$ (la necesita para anular el campo dentro del metal externo). Resultado: fuera ($r>c$) $E=0$ y $V=0$. La esfera interior conserva su $+4Q$.
! El error que más cuesta puntos
Olvidarse de que el potencial dentro de cada conductor es constante (= al de su superficie). En el cuadro de resultados, los tramos «dentro del metal» no son ceros, son el valor del potencial en el borde.

Tipo 5 Movimiento de cargas en campo uniforme

Una partícula con $q$ y $m$ entra en una región de campo uniforme $\vec E$. Te piden: el desplazamiento, la velocidad de salida, el tipo de trayectoria, dónde impacta, en qué punto se para, etc.

Receta
  1. Identifica $\vec E$ y la velocidad inicial $\vec v_0$. Decide si son paralelos o perpendiculares.
  2. Calcula la aceleración $\vec a=(q/m)\vec E$ — con signo, si la partícula es negativa (electrón), $\vec a$ es opuesta a $\vec E$.
  3. Si paralelos: MRUA en 1D. Aplica las ecuaciones cinemáticas $v=v_0+at$, $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$, $v^2=v_0^2+2ax$. Para «se para», $v=0$ → $t,x$.
  4. Si perpendiculares: descompón. Eje de $\vec v_0$ (digamos X): MRU, $x=v_0 t$. Eje de $\vec E$ (digamos Y): MRUA con $v_0=0$, $y=\frac{1}{2}at^2$.
  5. Si forman un ángulo (caso general — entrada oblicua): descompón $\vec v_0$ en componente paralela y perpendicular a $\vec E$. En la paralela hay MRUA; en la perpendicular, MRU.
  6. Para saber dónde choca: usa la condición geométrica ($y=$ altura de placa, $x=$ longitud del condensador, etc.).
Ejemplo · Electrón frenado
Problema 9 de la hoja

Enunciado: Electrón ($e=1{,}6\times10^{-19}$ C, $m=9{,}11\times10^{-31}$ kg) entra en $\vec E=400$ N/C con $v_0=3\times10^6$ m/s en el mismo sentido que $\vec E$. ¿Por qué se para? ¿Tras qué distancia?

Fuerza sobre el electrón: $\vec F=q\vec E=-eE\hat E$ → opuesta a $\vec E$ (porque la carga es negativa). Como $\vec v_0$ va en sentido de $\vec E$, la fuerza se opone a la velocidad → frena.
Aceleración: $a=eE/m=(1{,}6\times10^{-19})(400)/(9{,}11\times10^{-31})\approx 7{,}03\times10^{13}$ m/s² (de decoración: contraria a $v_0$).
Usamos $v^2=v_0^2-2a\,d=0$ → $d=v_0^2/(2a)=(3\times10^6)^2/(2\cdot 7{,}03\times10^{13})\approx 6{,}4\times10^{-2}$ m $=6{,}4$ cm.
Ejemplo · Trayectoria parabólica
Problema 10 de la hoja

Enunciado: Electrón con $\vec v=3{,}4\,\hat\imath\times10^6$ m/s entra en $\vec E=520\,\hat\jmath$ N/C que se extiende $\Delta x=45$ mm. Calcula desplazamiento vertical, velocidad de salida y tipo de movimiento posterior.

Tiempo en el campo: $t=\Delta x/v_x=0{,}045/(3{,}4\times10^6)\approx 1{,}32\times10^{-8}$ s.
Aceleración (electrón, carga negativa, campo en $+y$ → fuerza en $-y$): $a_y=-eE/m=-(1{,}6\times10^{-19})(520)/(9{,}11\times10^{-31})\approx -9{,}13\times10^{13}$ m/s².
Desplazamiento vertical: $y=\frac{1}{2}a_y t^2\approx -8$ mm. El electrón baja 8 mm.
Velocidad de salida: $v_x=3{,}4\times10^6$ (sin cambio), $v_y=a_y t\approx -1{,}2\times10^6$ m/s. $\vec v\approx(3{,}4,-1{,}2)\times10^6$ m/s.
Tras salir: no hay campo, no hay fuerza, no hay aceleración → MRU con esa velocidad.

Tipo 6 Dipolos

Problemas cortos pero recurrentes. Te dan un dipolo (par de cargas $\pm q$ separadas $d$, momento $p=qd$) y te piden el campo que crea, el torque en un campo externo, su energía potencial, etc.

Receta
  1. Identifica $\vec p$: módulo $p=qd$ y dirección (de $-q$ a $+q$).
  2. Si te piden el campo creado por el dipolo en un punto P: usa superposición de las dos cargas, o si P está muy lejos en el eje perpendicular, $E\approx kp/y^3$.
  3. Si lo metes en un campo uniforme $\vec E$ externo:
    • Fuerza neta = 0.
    • Torque: $\tau=pE\sin\theta$.
    • Energía: $U=-pE\cos\theta$.
  4. Si te dan tres cargas y te piden el momento dipolar del sistema: descomponlo en pares y suma vectorialmente $\vec p_{\text{tot}}=\sum_{\text{pares}}\vec p_i$.
Ejemplo · Dipolo en campo uniforme
Problema 25 de la hoja

Enunciado: $+3$ C y $-3$ C separadas $5$ cm = $0{,}05$ m. Lo metemos en $E=6\times 10^5$ N/C con $\theta=30°$. Calcula $p$, fuerza neta, torque, $U$ paralelo y a $60°$.

$p=qd=3\cdot 0{,}05=0{,}15$ C·m.
Fuerza neta = 0 (campo uniforme).
Torque: $\tau=pE\sin 30°=0{,}15\cdot 6\times10^5\cdot 0{,}5=4{,}5\times10^4$ N·m.
$U$ paralelo ($\theta=0$): $U=-pE=-9\times10^4$ J. Es la mínima energía (equilibrio estable).
$U$ a $\theta=60°$: $U=-pE\cos 60°=-9\times10^4\cdot 0{,}5=-4{,}5\times10^4$ J.

Resumen final · formulario para llevar al examen

Si solo te quedan 30 minutos antes del examen, lee esto. Es el destilado de todo el Tema 1.

Ley de Coulomb
$$\vec F_{12}=k\frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\hat u_{12},\quad k=9\times 10^{9}\;\mathrm{N\,m^2/C^2}$$
Campo de carga puntual
$$\vec E=k\frac{q}{r^2}\hat u_r,\quad\vec F=q_0\vec E$$
Ley de Gauss
$$\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$$
Potencial y energía
$$V=k\frac{q}{r},\;U=q_0 V,\;\Delta V=-\int_A^B\vec E\cdot d\vec\ell,\;W^{\text{el}}_{A\to B}=q_0(V_A-V_B)$$
Relación E – V
$$\vec E=-\vec\nabla V=-\Big(\tfrac{\partial V}{\partial x},\tfrac{\partial V}{\partial y},\tfrac{\partial V}{\partial z}\Big)$$
Energía de un sistema de cargas
$$U_{\text{sist}}=k\sum_{i
Dipolo
$$\vec p=q\vec d,\;\vec\tau=\vec p\times\vec E,\;U=-\vec p\cdot\vec E$$
Resultados Gauss
$$\text{Hilo: }E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\quad|\quad\text{Plano: }E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\quad|\quad\text{Conductor superficie: }E_{\text{ext}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

Los 10 mandamientos del Tema 1

1La carga se cuantiza y se conserva.
2Los aislantes NO se cargan por inducción.
3El campo es vectorial y sigue el principio de superposición.
4Las líneas de campo salen de + y entran en −, son tangentes a $\vec E$, nunca se cortan.
5Líneas de campo y equipotenciales son perpendiculares.
6El campo apunta hacia potenciales menores.
7Dentro de un conductor en equilibrio: $E=0$. Toda la carga está en su superficie. $V$ es constante.
8Gauss: $\Phi=Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$. Lo de fuera no entra en la cuenta.
9El trabajo sobre una equipotencial es cero, siempre.
10Un dipolo en un campo uniforme gira hasta $\vec p\parallel\vec E$ (mínima energía).