Condensadores y dieléctricos · guía completa de teoría para el test y problemas tipo para la parte de ejercicios. Junto al Tema 1, completa el primer parcial.
Cómo usar esta guía plan de estudio
Plan recomendado (≈ 6 h de trabajo total): Recorre la Parte I — Teoría de principio a fin marcando los conceptos en los que dudes. El bloque que siempre cae a examen es el comportamiento de un dieléctrico según el condensador esté conectado o aislado de la fuente. Después trabaja la Parte II — Ejercicios: lee la receta, sigue el ejemplo y resuelve uno de la Hoja de Problemas Tema 2 del proyecto. Cierra con el Resumen antes del examen.
El Tema 2 aporta entre 3 y 5 preguntas del test general (4 puntos sobre 10) y el problema más típico del primer parcial junto con uno del Tema 1. Casi todas las preguntas se reducen a una idea: «¿qué se mantiene constante, Q o V?»
2.1 Capacidad de un conductor aislado
Imagínate un conductor aislado (por ejemplo una esfera metálica suspendida en el aire). Si le añades carga $Q$, su potencial $V$ aumenta. La relación entre lo que cabe y lo que tiene cuesta llenarlo es lo que llamamos capacidad:
La capacidad es una propiedad intrínseca del conductor: depende solo de su geometría (forma y tamaño) y del medio que lo rodea (a través de la permitividad $\varepsilon$).
NO depende de la carga $Q$ que tenga, ni del potencial $V$. Si pones más carga, sube $V$ proporcionalmente y el cociente $Q/V$ es el mismo.
1 faradio es enorme. En electrónica normal se trabaja con $\mu\mathrm{F}$ ($10^{-6}$), $\mathrm{nF}$ ($10^{-9}$) o $\mathrm{pF}$ ($10^{-12}$).
i Lectura intuitiva
Cuanto mayor sea la capacidad, más carga puede almacenar para una misma diferencia de potencial. Y a la inversa: con la misma carga, un conductor de mayor capacidad se mantiene a menor potencial. Esto es importante para las preguntas tipo «si unimos dos esferas de radios $R_1>R_2$ por un hilo, ¿quién acumula más carga?» → la grande (mayor $C$).
Para una esfera conductora aislada de radio $R$ en el vacío, $V=kQ/R$, de modo que $C=R/k=4\pi\varepsilon_0 R$.
Cae en el test: «la capacidad de un condensador depende de…» — La respuesta es sus características geométricas (y el medio dieléctrico, a través de $\varepsilon$). No depende de la carga ni del potencial ni del campo. Cuidado con las opciones-trampa que dicen lo contrario.
2.2 Qué es un condensador
Un condensador es un dispositivo formado por dos conductores (llamados armaduras o placas) con cargas iguales y opuestas $+Q$ y $-Q$, separados por un material aislante (vacío, aire o un dieléctrico).
Capacidad de un condensador
$$ C=\dfrac{Q}{V}\qquad \text{con } V = V_+ - V_- \text{ (ddp entre las placas)} $$
i ¿Por qué un condensador almacena más que un conductor solo?
En un conductor aislado las cargas del mismo signo se repelen y «se resisten» a entrar. En un condensador, justo enfrente del conductor con $+Q$ tienes otro con $-Q$: las atracciones entre cargas opuestas compensan parcialmente las repulsiones internas. El resultado: para una misma carga, el potencial es menor → la capacidad aumenta.
Por qué nos importa
Almacenan energía eléctrica (flash de cámara, desfibrilador, fuente conmutada).
Sirven como filtro de señales y para suavizar picos de tensión.
Son, junto con resistencias y bobinas, uno de los tres componentes pasivos básicos en electrónica (los demás los verás en los Temas 3 y 4). En la placa base de un ordenador hay cientos de ellos.
2.2 (cont.) Tipos de condensadores
Los tres ejemplos clásicos que tienes que saber de memoria — y todos comparten el mismo patrón: capacidad = (algo geométrico) · permitividad.
1) Condensador de placas paralelas — el rey
Dos placas planas de área $S$ separadas una distancia $d$. Entre las placas el campo es uniforme:
En las tres geometrías la capacidad es $\varepsilon\;\times\;($factor puramente geométrico$)$. Eso te confirma a nivel teórico que la capacidad solo depende de geometría y medio.
Geometría
Capacidad
«Factor geométrico»
Plano
$\varepsilon\,S/d$
$S/d$
Esférico
$4\pi\varepsilon\,ab/(b-a)$
$4\pi\,ab/(b-a)$
Cilíndrico
$2\pi\varepsilon L/\ln(b/a)$
$2\pi L/\ln(b/a)$
2.2 (cont.) Asociación de condensadores
Cuando varios condensadores se conectan entre sí, podemos sustituirlos por uno solo equivalente $C_{\text{eq}}$ que almacena la misma carga total con la misma ddp total. Hay dos formas básicas — y todo lo demás se obtiene combinándolas.
Condensadores en SERIE — todos con la misma carga
En serie, cada condensador almacena la misma carga $Q$. La tensión de la fuente se reparte entre ellos.
Serie
$$ \dfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\sum_{i=1}^{N}\dfrac{1}{C_i}\qquad\Rightarrow\qquad C_{\text{eq}}<\min(C_i) $$
Para dos: $\;C_{\text{eq}}=\dfrac{C_1 C_2}{C_1+C_2}$
La carga es la misma en todos los condensadores: $Q_1=Q_2=\dots=Q$.
Las ddp se suman: $V_{\text{total}}=V_1+V_2+\dots+V_N$, con $V_i=Q/C_i$.
La capacidad equivalente disminuye. Más condensadores en serie → menos capacidad total.
El condensador con menor capacidad es el que tiene mayor ddp entre sus placas (y, por tanto, mayor riesgo de ruptura dieléctrica).
Condensadores en PARALELO — todos con la misma ddp
En paralelo, todos los condensadores están a la misma ddp $V$. La carga total es la suma de las cargas individuales.
Las cargas se suman: $Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2+\dots+Q_N$, con $Q_i=C_i V$.
La capacidad equivalente aumenta. Más condensadores en paralelo → más capacidad total.
El condensador con mayor capacidad es el que acumula mayor carga.
✓ Regla mnemotécnica
Asocia mentalmente la topología con la fórmula:
Serie (uno detrás de otro, todos con la misma carga): suman inversos. La capacidad equivalente es menor que la menor de las individuales.
Paralelo (a la misma ddp): suman directamente. La capacidad equivalente es mayor que la mayor de las individuales.
Cuando lleguen los Temas 3 y 4 (resistencias y circuitos) verás que es justo al contrario — pero no te adelantes, ya llegará.
Pregunta-trampa clásica: «si conecto en serie dos condensadores descargados iguales de capacidad $C$, la capacidad equivalente es…» — Es $C/2$, NO $C$ (ni $2C$). La opción «la misma» es trampa.
2.5 Energía almacenada en un condensador
Cargar un condensador cuesta energía: hay que llevar cada $dq$ desde una placa hasta la otra contra el campo que ya están creando las cargas previas. Integrando desde $q=0$ hasta $Q$:
Energía almacenada
$$ U=\dfrac{1}{2}\dfrac{Q^2}{C}=\dfrac{1}{2}C V^2=\dfrac{1}{2}Q V $$
Las tres expresiones son equivalentes. Elige la más cómoda según los datos que te den.
Si te dicen «V constante» (sistema conectado a la fuente) → usa $U=\tfrac{1}{2}CV^2$, así ves cómo cambia $U$ al cambiar $C$.
Si te dicen «Q constante» (sistema aislado) → usa $U=\tfrac{1}{2}Q^2/C$, así ves cómo cambia $U$ al cambiar $C$.
La energía es siempre positiva.
Densidad de energía electrostática
Si lo piensas, la energía está «en el campo» entre las placas. Para un condensador plano: $U=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^2\,S\,d$, y como $S\,d$ es el volumen entre las placas:
Densidad de energía (J/m³)
$$ \boxed{\;u_e=\dfrac{1}{2}\varepsilon E^2\;} $$
i Interpretación profunda
Esta densidad de energía es universal: en cualquier punto del espacio donde exista un campo eléctrico $E$, hay una energía por unidad de volumen $u_e=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^2$. No hace falta un condensador para que aparezca — el condensador es solo el sitio donde la utilizamos cómodamente.
Pregunta tipo test (marzo 2025): «si entre las placas hay un dieléctrico de permitividad relativa $\kappa$ y módulo del campo $E$, la densidad de energía es…» — La respuesta es $\tfrac{1}{2}\kappa\varepsilon_0 E^2$ (porque $\varepsilon=\kappa\varepsilon_0$). Cuidado con la opción $\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ — esa es la del vacío.
2.3 Dieléctricos: qué hacen físicamente
Un dieléctrico es un material aislante (sus electrones están ligados a sus átomos y no fluyen libremente). En ausencia de campo, sus moléculas pueden tener pequeños momentos dipolares — pero orientados al azar, así que el campo medio resultante es nulo.
Cuando metes ese dieléctrico en un campo eléctrico externo $\vec E_0$, ocurren dos cosas según el tipo de molécula:
Tipo de molécula
Qué pasa
Polar (ya tiene $\vec p$ propio, p.ej. H₂O)
Los dipolos se orientan en la dirección del campo (alineándose como brújulas).
Apolar (no tiene $\vec p$ propio, p.ej. CO₂ lineal)
El campo deforma la nube electrónica e induce un momento dipolar paralelo a $\vec E_0$.
En ambos casos, el dieléctrico queda polarizado: aparece un momento dipolar promedio $\langle\vec p\rangle\neq 0$ alineado con el campo aplicado.
El dieléctrico se polariza. Aparecen cargas ligadas en sus dos superficies (positivas en una, negativas en la otra) que no se mueven libremente — están fijas en los bordes del material.
i Cargas libres vs. cargas ligadas
Cargas libres ($Q$): las que hemos puesto nosotros sobre las placas conductoras del condensador. Se mueven libremente por el conductor.
Cargas ligadas ($Q'$): las que aparecen sobre las superficies del dieléctrico al polarizarse. No se mueven libremente, están ancladas a las moléculas. Crean un campo $\vec E'$ que se opone al externo.
Resultado neto dentro del dieléctrico: $E=E_0-E'constante dieléctrica relativa.
2.4 Condensador con dieléctrico — los dos casos del examen
Faraday descubrió experimentalmente que al introducir un dieléctrico, la capacidad siempre aumenta:
Faraday
$$ C=\kappa\,C_0\qquad (C_0\text{ = capacidad en vacío}) $$
Y ahora la pregunta del millón: ¿qué pasa con el resto de magnitudes ($V$, $Q$, $U$, $E$) al meter el dieléctrico? Depende totalmente de si el condensador sigue conectado a la fuente o no. Esta es la distinción que tienes que tener perfectamente clara.
CASO A · Condensador AISLADO de la fuente — Q constante
Cargamos el condensador con la batería, lo desconectamos (la carga no tiene dónde irse → $Q$ se conserva), y entonces metemos el dieléctrico.
$Q$ no cambia (sistema aislado, la carga se conserva).
$C$ aumenta $\times\kappa$ (Faraday).
$V$ disminuye $\times 1/\kappa$ ($V=Q/C$, $Q$ fija y $C$ crece).
$E$ disminuye $\times 1/\kappa$ ($E=V/d$ en condensador plano, o el efecto del campo $E'$ del dieléctrico que se opone al externo).
$U$ disminuye $\times 1/\kappa$ ($U=Q^2/(2C)$, $Q$ fija y $C$ crece).
✓ ¿Adónde se ha ido la energía?
El campo eléctrico realiza trabajo para polarizar el dieléctrico (atrae el material hacia el interior — si lo dejas suelto, lo absorbe espontáneamente). Esa energía sale del condensador y queda invertida en polarizar el dieléctrico → la energía total almacenada disminuye.
CASO B · Condensador CONECTADO a la fuente — V constante
Mantenemos la batería conectada y, sin desconectarla, metemos el dieléctrico. Ahora es la tensión la que no puede cambiar: la fuente la fija.
$Q$ aumenta $\times\kappa$ ($Q=CV$, $V$ fija y $C$ crece — la fuente proporciona carga adicional).
$E$ no cambia ($E=V/d$, ambos fijos).
$U$ aumenta $\times\kappa$ ($U=\tfrac{1}{2}CV^2$, $V$ fija y $C$ crece — la fuente aporta energía extra).
! Mucho cuidado con esta sutileza
En el caso conectado a la fuente, lo que la fuente garantiza es la ddp total del sistema, no la de cada condensador individual. Si en una asociación serie/paralelo metes un dieléctrico en uno solo de los condensadores, la ddp de ese condensador cambiará, pero la suma total seguirá siendo $V_{\text{fuente}}$.
Tabla mnemotécnica para el examen
Magnitud
Aislado (Q cte)
Conectado (V cte)
Capacidad $C$
× $\kappa$ ↑
× $\kappa$ ↑
Carga $Q$
= cte
× $\kappa$ ↑
Tensión $V$
× $1/\kappa$ ↓
= cte
Campo $E$
× $1/\kappa$ ↓
= cte
Energía $U$
× $1/\kappa$ ↓
× $\kappa$ ↑
! Las preguntas-trampa más comunes
«Al introducir el dieléctrico en un condensador conectado a la batería, su capacidad disminuye en factor $\kappa$» → FALSO. Aumenta.
«Al introducir el dieléctrico en un condensador aislado, su campo eléctrico se multiplica por $\kappa$» → FALSO. Se divide por $\kappa$.
«Al introducir el dieléctrico (aislado), la carga libre cambia» → FALSO. La carga libre se conserva. Lo que aparece son cargas ligadas en el dieléctrico, pero la carga libre de las placas conductoras es la misma.
«Al introducir el dieléctrico (conectado), su energía se mantiene constante» → FALSO. Aumenta. La fuente aporta más carga y por tanto más energía.
Truco para el test: antes de marcar nada, decide a qué caso pertenece la pregunta. Si menciona «desconectado», «aislado», «se separa de la fuente» → Caso A ($Q$ cte). Si menciona «conectado», «manteniendo la batería», «sin desconectar» → Caso B ($V$ cte). Memoriza la tabla y listo.
Test Banco de preguntas tipo test resueltas
Preguntas reales sacadas de exámenes del proyecto (junio 23, 1P abril 24, 1P marzo 25, finales 22/24/25, etc.). Algunas vienen de antiguos segundos parciales — en años previos el Tema 2 caía en el 2P, pero ahora pertenece al 1P. La materia y las preguntas son idénticas, lo único que cambia es en qué examen las verás. Si pones todas bien, el Tema 2 lo tienes resuelto.
[2P jun 23] La capacidad de un condensador: a) Depende de la carga almacenada · b) Depende de la ddp entre sus placas · c) Depende del campo eléctrico en su interior · d) Depende de sus características geométricas · e) Es mayor en vacío que con dieléctrico
d. La capacidad solo depende de la geometría y del medio (a través de $\varepsilon$). No de $Q$, $V$ ni $E$. La (e) es además contradictoria con Faraday: meter dieléctrico aumenta la capacidad.
[2P jun 23] Si tengo $N$ condensadores descargados e iguales de capacidad $C$ y los coloco en serie, su capacidad equivalente es:
$C/N$. Es la opción a). Aplicas $1/C_{\text{eq}}=N/C\Rightarrow C_{\text{eq}}=C/N$. Está abajo del mínimo.
[2P jun 23] Cargamos un condensador $C_1$ a tensión $V$, lo aislamos y lo conectamos en paralelo con otro descargado $C_2$. ¿Cuáles son las ddp finales $V_1$ y $V_2$?
$V_1=V_2=\dfrac{C_1 V}{C_1+C_2}$. Es la opción e). Al conectarlos en paralelo se igualan los potenciales y la carga total se conserva: $Q_0=C_1 V=(C_1+C_2)V'$, de ahí $V'$.
[Final jun 22] $C_1=C$ cargado a $Q$. Lo unimos a $C_2=C/3$ descargado. ¿Cargas finales $q_1$ y $q_2$?
$q_1=3Q/4$, $q_2=Q/4$. Es la opción a). Mismo principio: igual ddp final en ambos, $V'=q_1/C_1=q_2/C_2$. Con $C_2=C_1/3$, $q_2=q_1/3$. Y conservación: $q_1+q_2=Q$. Resuelves.
[Final jun 22] Si introduzco un dieléctrico con $\kappa=5$ en un condensador cargado y aislado de la fuente:
e) La energía disminuye a $1/5$ de su valor inicial. Caso aislado: $Q$ se mantiene, $C$ se multiplica por 5, $U=Q^2/(2C)$ se divide por 5. El campo NO se multiplica por 5 (se divide). La carga libre NO cambia.
[1P 2026, ejemplo] Cargamos un condensador, lo desconectamos y le metemos un dieléctrico. ¿Qué pasa con su energía?
Disminuye en factor $1/\kappa$. La energía se invierte en polarizar el dieléctrico (que es atraído hacia el interior — incluso si lo metemos a mano, el sistema gana al "soltarlo" porque se atrae).
[1P, jun 22] Cargo un condensador con un generador. Sin desconectar, introduzco un dieléctrico de constante $\kappa$:
e) La carga libre de las armaduras permanece constante.(¡Cuidado, hay versiones con respuestas distintas! En el caso conectado a la fuente, la carga libre crece $\times\kappa$, NO permanece constante.) Las opciones correctas habituales: la capacidad aumenta $\times\kappa$, el potencial es constante, el campo es constante, la carga libre aumenta $\times\kappa$ y la energía aumenta $\times\kappa$.
[1P marzo 25] La capacidad de un condensador depende de…
d) Del medio material que se encuentra entre sus placas. Las demás (carga, ddp, "es independiente de su tamaño / geometría") son falsas.
[1P marzo 25] Dos condensadores $C_1>C_2$ en serie con una fuente $V$:
c) Almacena mayor energía el de menor capacidad. En serie, ambos tienen la misma carga $Q$. La energía es $U=Q^2/(2C)$, así que el de menor $C$ guarda más energía. Y también tiene mayor ddp ($V=Q/C$).
[1P marzo 25] Densidad de energía electrostática entre las placas de un condensador con dieléctrico $\kappa$:
a) $\tfrac{1}{2}\kappa\varepsilon_0 E^2$. Recuerda $\varepsilon=\kappa\varepsilon_0$, así que la fórmula general $u_e=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^2$ se reescribe como $\tfrac{1}{2}\kappa\varepsilon_0 E^2$.
[1P, esfera 2 conductores] $R_1=3R_2$, las unimos por un hilo. Al equilibrio:
$Q_1=3Q_2$. Al unirlas se igualan los potenciales: $V=kQ_1/R_1=kQ_2/R_2$. Como $R_1=3R_2$, queda $Q_1=3Q_2$. La de mayor radio (mayor capacidad) acumula más carga.
[Tipo test] Si aumentamos la carga almacenada en un condensador, ¿qué le pasa a la capacidad?
No cambia. La capacidad no depende de la carga. Lo que sí aumenta es la energía: $U=Q^2/(2C)$ — opción correcta «aumenta su energía».
[Tipo test] Dos condensadores descargados de distinta capacidad en serie a una batería. Una vez cargados:
«Adquiere mayor diferencia de potencial entre sus placas el condensador de menor capacidad». Misma carga en ambos ($Q$), pero $V=Q/C$ → el pequeño tiene más $V$.
Patrón de las preguntas: casi todas se resuelven con dos preguntas internas: (1) ¿estamos en caso $Q$ constante o $V$ constante? (2) ¿qué fórmula me relaciona las dos magnitudes que pregunta? Si manejas la tabla del capítulo 7 con fluidez, no necesitas nada más.
Parte II
Ejercicios para problemas
Hay 5 tipos básicos. Si los dominas, has cubierto el 100% de lo que pueden pedirte. Cada tipo trae una receta paso a paso, un ejemplo resuelto del proyecto y los errores típicos.
Tipo 1 Asociación mixta serie / paralelo
Te dan un circuito con varios condensadores combinados en serie y en paralelo, conectados a una fuente $V$. Te piden $C_{\text{eq}}$, la carga y la ddp de cada condensador y la energía total.
Receta universal
Simplifica el circuito por bloques. Identifica subgrupos en paralelo (mismos puntos en ambos extremos) y en serie (la salida del uno entra en el siguiente, sin nada conectado en medio). Reduce paso a paso hasta tener un único condensador equivalente.
Capacidad equivalente: aplica $C_p=\sum C_i$ y $1/C_s=\sum 1/C_i$.
Carga del equivalente: $Q_{\text{eq}}=C_{\text{eq}}\cdot V$. Esta es la carga que sale de la fuente.
«Deshaz» el circuito hacia atrás. Vas paso a paso recuperando los bloques originales, sabiendo que:
En serie, todos los condensadores tienen la misma carga (la del equivalente).
En paralelo, todos los condensadores tienen la misma ddp.
Calcula la carga / ddp de cada condensador individual usando $Q_i=C_i V_i$ o $V_i=Q_i/C_i$.
Comprueba: la suma de las ddp en serie debe dar la ddp del bloque equivalente; la suma de las cargas en paralelo debe dar la del equivalente.
Energía total: $U=\tfrac{1}{2}C_{\text{eq}}V^2$ (o suma las energías individuales; deben coincidir).
Ejemplo · Problema tipo 1 del proyecto
3 condensadores, mixta
Enunciado: $C_1=2\,\mu\mathrm{F}$, $C_2=6\,\mu\mathrm{F}$, $C_3=8\,\mu\mathrm{F}$. $C_1\parallel C_2$, y ese bloque en serie con $C_3$. Conectado a $V=12$ V. Calcular $C_{\text{eq}}$, $Q_{\text{tot}}$, $V_3$ y $V_{\text{par}}$, las cargas individuales y la energía total.
Serie con $C_3$: $C_{\text{eq}}=\left(\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}\right)^{-1}=4\,\mu\mathrm{F}$.
Carga total: $Q_{\text{tot}}=C_{\text{eq}}\,V=4\cdot 12=48\,\mu\mathrm{C}$. Esta carga sale de la fuente.
Bloques en serie ($C_{\text{par}}$ y $C_3$) tienen la misma carga: $Q_{\text{par}}=Q_3=48\,\mu\mathrm{C}$. Por tanto $V_{\text{par}}=48/8=6$ V y $V_3=48/8=6$ V (suman 12 ✓).
Dentro del paralelo: ambos a $V_1=V_2=V_{\text{par}}=6$ V. Entonces $Q_1=C_1\cdot 6=12\,\mu\mathrm{C}$ y $Q_2=C_2\cdot 6=36\,\mu\mathrm{C}$. Suma: $48\,\mu\mathrm{C}$ ✓.
Cuando reduces a un solo condensador equivalente, la fuente sigue siendo la misma. La $V$ de la fuente es la ddp total, no la de cada condensador individual. Si lo olvidas, te saldrán cargas absurdamente grandes.
Tipo 2 Asociación con dieléctrico — conectado vs aislado
Variante del Tipo 1, pero ahora introduces un dieléctrico en uno (o varios) de los condensadores y te preguntan «¿qué cambia?». Es el problema más típico del primer parcial: sale prácticamente cada año.
Receta
Identifica el caso: ¿el sistema sigue conectado a la fuente al meter el dieléctrico, o se ha desconectado? Esta es la decisión que cambia todo.
Resuelve el estado inicial (sin dieléctrico) como un Tipo 1 normal. Calcula $C_{\text{eq}}^{(0)}$, $Q^{(0)}_i$, $V^{(0)}_i$, $U^{(0)}$.
Sustituye el condensador donde entra el dieléctrico por uno nuevo de capacidad $C'=\kappa C$.
Re-resuelve el circuito como un Tipo 1, pero teniendo en cuenta qué se mantiene constante:
Si sigue conectado a la fuente ($V_{\text{total}}$ = cte): recalcula $C_{\text{eq}}'$ con la nueva $C_3'$ y vuelve a partir cargas y tensiones desde la fuente.
Si está aislado: la carga total $Q_{\text{tot}}$ es la misma que tenía antes. Recalcula $C_{\text{eq}}'$ y la nueva ddp es $V'=Q_{\text{tot}}/C_{\text{eq}}'$.
Compara energías: $U_f$ vs $U_0$. Si está conectado, $U_f=\tfrac{1}{2}C_{\text{eq}}'V^2$. Si está aislado, $U_f=\tfrac{1}{2}Q_{\text{tot}}^2/C_{\text{eq}}'$.
Justifica el sentido del cambio físicamente:
Conectado → la fuente proporciona más carga → la energía aumenta.
Aislado → la energía se «gasta» polarizando el dieléctrico → la energía disminuye.
Ejemplo · Problema tipo 2 del proyecto
$\kappa=3$ en $C_3$, los dos casos
Enunciado: mismo circuito que el Tipo 1 ($C_1\parallel C_2$ en serie con $C_3$; $V=12$ V; $d=2$ mm entre placas de $C_3$). Mientras está conectado a la fuente se introduce en $C_3$ un dieléctrico con $\kappa=3$. (a) Calcula $V_3'$, $Q_3'$ y $E_3'$ antes y después. (b) ¿Cómo cambia $U$? (c) Repite si previamente desconectamos la fuente.
Antes (Tipo 1 ya resuelto): $C_{\text{eq}}=4\,\mu\mathrm{F}$, $Q_3=48\,\mu\mathrm{C}$, $V_3=6$ V, $E_3=V_3/d=6/0{,}002=3000$ V/m. $U_0=288\,\mu\mathrm{J}$.
(a-b) Caso conectado (V=12 V cte):
Nueva $C_3'=\kappa C_3=3\cdot 8=24\,\mu\mathrm{F}$.
Nueva equivalente: $C_{\text{eq}}'=\left(\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{24}\right)^{-1}=\tfrac{24}{4}=6\,\mu\mathrm{F}$.
Nueva carga total (también la del $C_3'$ por estar en serie): $Q_{\text{tot}}'=Q_3'=C_{\text{eq}}'\cdot V=6\cdot 12=72\,\mu\mathrm{C}$.
$V_3'=Q_3'/C_3'=72/24=3$ V. Ojo: $V_3'\neq V_3$ aunque el sistema esté conectado a la fuente — el sistema completo mantiene 12 V, pero cada condensador individual no.
$E_3'=V_3'/d=3/0{,}002=1500$ V/m. $E$ baja a la mitad.
$U'=\tfrac{1}{2}C_{\text{eq}}'V^2=\tfrac{1}{2}\cdot 6\,\mu\mathrm{F}\cdot 144=432\,\mu\mathrm{J}$. Aumenta (la fuente proporciona más carga).
(c) Caso aislado (Q tot = 48 µC cte):
$C_{\text{eq}}'=6\,\mu\mathrm{F}$ (igual que antes — la capacidad solo depende de geometría y $\varepsilon$).
Nueva ddp total: $V''=Q_{\text{tot}}/C_{\text{eq}}'=48/6=8$ V (la fuente ya no la fija; la batería se quitó).
$Q_3''=Q_{\text{tot}}=48\,\mu\mathrm{C}$ (al estar en serie con el paralelo).
$V_3''=Q_3''/C_3'=48/24=2$ V. $E_3''=2/0{,}002=1000$ V/m.
$U''=\tfrac{1}{2}Q_{\text{tot}}^2/C_{\text{eq}}'=\tfrac{1}{2}\cdot 48^2/6=192\,\mu\mathrm{J}$. Disminuye respecto a $288\,\mu\mathrm{J}$ — la energía se gasta polarizando el dieléctrico.
El enunciado tiene siempre las pistas en el verbo: «manteniendo conectado a la fuente» → V cte. «se desconecta», «se separa de la fuente», «aislado» → Q cte. Subráyalo antes de empezar.
Tipo 3 Cargados por separado y luego conectados
Varios condensadores se cargan individualmente con una fuente (o con cargas conocidas), se desconectan, y entonces se unen entre sí en serie o en paralelo. Se pide la redistribución final de cargas y ddp.
La idea clave: una vez aislados, la carga total se conserva (la suma de las cargas en las placas que se conectan entre sí). Cuando los unes, la ddp se iguala (paralelo) o se reparte (serie), y las cargas migran hasta el equilibrio.
Receta
Calcula la carga inicial de cada condensador antes de conectarlos: $q_i^{(0)}=C_i V_i^{(0)}$.
Identifica qué placas se conectan entre sí. Esto es vital: hay diferencia entre conectar (+) con (+) y conectar (+) con (−).
Escribe la conservación de carga de las placas que se han conectado entre sí. Sumas signos: si una placa con $+q_1$ se conecta a una con $-q_2$, la carga total atrapada en ese «nodo» es $+q_1-q_2$, y se conserva.
Escribe la ley que iguala potenciales: en paralelo $V_1'=V_2'=V'$, lo que da $q_1'/C_1=q_2'/C_2$. En serie es algo más complejo: cada condensador tiene su propia ddp y $V_{\text{total}}'=V_1'+V_2'$. Pero como están aislados sin fuente, la ddp total se acomoda al equilibrio.
Resuelve el sistema de dos ecuaciones (conservación + igualdad de potencial) para hallar $q_1'$ y $q_2'$.
Calcula la $V'$ final y, si te piden energía, $U_f=\sum\tfrac{1}{2}q_i'^2/C_i'$.
Compara $U_f$ con $U_0$: siempre que haya redistribución, hay pérdida de energía (la invierte el campo eléctrico en realizar el trabajo necesario para mover las cargas hasta el nuevo equilibrio). Si las placas conectadas estaban ya al mismo potencial, no hay redistribución y $U_f=U_0$.
Ejemplo · Problema tipo 3, caso c) del proyecto
Cargados por separado, después en serie
Enunciado: $C_1=10\,\mu\mathrm{F}$, $C_2=20\,\mu\mathrm{F}$. Cada uno se carga separadamente a 30 V, se aíslan, y se conectan en serie (placa $-$ de $C_1$ con placa $+$ de $C_2$). Calcula $V'$, $C_{\text{eq}}$, $q_1'$, $q_2'$.
Conservación de carga en el nodo intermedio (placa $-q_1$ unida a placa $+q_2$): $q_2'+(-q_1')=q_2+(-q_1)=300\,\mu\mathrm{C}$. Recuerda que las placas conectadas se igualan a la misma carga, pero en serie ambos condensadores adquieren ddp y los signos importan.
Al conectarse formando un circuito cerrado (a través de los puntos A y B), las cargas se redistribuyen hasta alcanzar el equilibrio electrostático. En el estado final las placas conectadas A-A y B-B están al mismo potencial, así que el resultado es equivalente a una asociación en paralelo: $V_1'=V_2'=V'$, es decir $q_1'/C_1=q_2'/C_2$.
Sistema: $q_2'-q_1'=300$ y $q_1'/10=q_2'/20\Rightarrow q_2'=2q_1'$. Sustituyes: $2q_1'-q_1'=300\Rightarrow q_1'=100\,\mu\mathrm{C}$, $q_2'=200\,\mu\mathrm{C}$.
$V'=q_1'/C_1=100/10=10$ V.
Capacidad equivalente: $C_{\text{eq}}=(q_1'+q_2')/V'=300/10=30\,\mu\mathrm{F}$ = $C_1+C_2$. Es decir, una vez conectados resultan en paralelo (porque las placas A-A y B-B están al mismo potencial).
Ejemplo · Problema tipo 3, caso d)
Cargados por separado, después en paralelo (+ con +)
Enunciado: mismo escenario inicial pero ahora conectamos placas de igual potencial (placa $+q_1$ con $+q_2$ y placa $-q_1$ con $-q_2$). $q_1=300\,\mu\mathrm{C}$, $q_2=600\,\mu\mathrm{C}$.
Misma ddp: $q_1'/C_1=q_2'/C_2\Rightarrow q_2'=2q_1'$.
$3q_1'=900\Rightarrow q_1'=300\,\mu\mathrm{C}$, $q_2'=600\,\mu\mathrm{C}$. Iguales a las cargas iniciales — no ha habido redistribución, porque las placas conectadas ya estaban al mismo potencial.
$V'=300/10=30$ V (la misma de antes).
Energía no cambia: $U_f=U_0$.
✓ Diagnóstico rápido
Si conectas placas que ya estaban al mismo potencial → no hay redistribución → no hay pérdida de energía. Si conectas placas a distinto potencial → redistribución → pérdida de energía. Esto es lo que te permite responder rápidamente a la pregunta «¿se conserva la energía?».
Tipo 4 Lámina conductora dentro de un condensador
Se introduce una lámina conductora (no un dieléctrico — un metal real, espesor $b$) entre las placas de un condensador plano-paralelo (placas de área $A$, separación $d$). La lámina puede estar equidistante o no, y se pregunta por la nueva capacidad.
El truco fundamental: dentro de un conductor en equilibrio, $E=0$. Eso convierte el conductor introducido en una «región muerta» para el campo, y el sistema equivale a dos condensadores en serie con el espacio efectivo reducido.
Receta
El conductor se polariza por inducción: aparecen $-q$ en su cara cercana a la placa $+q$ y $+q$ en la opuesta. Dentro de él, $E=0$.
El espacio entre placas se reduce de $d$ a $(d-b)$: la parte del conductor «no aporta» distancia eléctrica.
El sistema equivale a dos condensadores en serie, cada uno con la misma área $A$ y con separaciones $d_1$ y $d_2$ tales que $d_1+d_2=d-b$. La capacidad equivalente es independiente de dónde esté la lámina (con tal de que esté completamente entre las placas y no toque):
$$ C_1=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d_1},\quad C_2=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d_2},\quad \dfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\dfrac{d_1}{\varepsilon_0 A}+\dfrac{d_2}{\varepsilon_0 A}=\dfrac{d-b}{\varepsilon_0 A}.$$
Resultado: $\boxed{\;C_{\text{eq}}=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d-b}\;}$. Es mayor que la capacidad inicial $C_0=\varepsilon_0 A/d$.
Comprueba casos límite: si $b=0$ (no hay conductor), $C_{\text{eq}}=C_0$ ✓. Si $b\to d$ (el conductor llena todo el espacio), $C_{\text{eq}}\to\infty$ — porque las placas casi se tocan (cortocircuito).
Ejemplo · Problema 8 de la hoja
Lámina de cobre equidistante
Enunciado: condensador plano-paralelo de área $A$ y separación $d$. Se introduce una lámina de cobre de espesor $b$, equidistante. ¿Capacidad final?
Como ya hemos visto, el resultado es independiente de la posición: el efecto de la lámina es quitar espesor eléctrico igual a $b$.
Capacidad: $\boxed{C_{\text{eq}}=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d-b}}$. Solución del libro.
✓ Comparativa: lámina conductora vs dieléctrica
Si la lámina fuera dieléctrica (no conductora) con permitividad $\kappa$, el resultado sería distinto: $C_{\text{eq}}=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d-b+b/\kappa}$. Cuando $\kappa\to\infty$, recuperas el conductor: $C_{\text{eq}}\to\varepsilon_0 A/(d-b)$. La diferencia: el dieléctrico no anula el campo en su interior, solo lo reduce $\times 1/\kappa$.
Tipo 5 Diseño de un condensador (área mínima, ruptura)
Te dan especificaciones: capacidad deseada, tensión máxima de operación, propiedades del dieléctrico (incluyendo el campo de ruptura $E_{\text{rup}}$, que es el campo máximo que aguanta sin volverse conductor). Te piden las dimensiones mínimas del condensador.
Receta
Identifica las restricciones:
Capacidad requerida $C$.
Tensión máxima de operación $V_{\text{max}}$.
Campo de ruptura del dieléctrico $E_{\text{rup}}$.
El campo en el interior de un condensador plano cumple $E=V/d$. Para que el dieléctrico no se rompa cuando trabajamos a la tensión máxima: $E_{\text{rup}}\geq V_{\text{max}}/d_{\text{min}}$. De ahí sale la separación mínima:
$$ d_{\text{min}}=\dfrac{V_{\text{max}}}{E_{\text{rup}}} $$
Con esa separación mínima, calcula el área mínima que necesitas para la capacidad pedida usando $C=\varepsilon A/d$:
$$ A_{\text{min}}=\dfrac{C\,d_{\text{min}}}{\varepsilon}=\dfrac{C\,V_{\text{max}}}{\varepsilon\,E_{\text{rup}}} $$
Recuerda usar la permitividad absoluta del dieléctrico: $\varepsilon=\kappa\varepsilon_0$.
Ejemplo · Problema 1 de la hoja
Condensador con vidrio
Enunciado: dieléctrico vidrio con $\kappa=8$, $E_{\text{rup}}=2\times 10^7$ V/m. Diseña un condensador de $C=20$ pF que soporte $V_{\text{max}}=10^4$ V. Calcula el área mínima.
Separación mínima: $d_{\text{min}}=V_{\text{max}}/E_{\text{rup}}=10^4/(2\times 10^7)=5\times 10^{-4}$ m = 0,5 mm.
Permitividad del vidrio: $\varepsilon=\kappa\varepsilon_0=8\cdot 8{,}854\times 10^{-12}\approx 7{,}08\times 10^{-11}$ F/m.
Área mínima: $A_{\text{min}}=\dfrac{C\cdot d_{\text{min}}}{\varepsilon}=\dfrac{20\times 10^{-12}\cdot 5\times 10^{-4}}{7{,}08\times 10^{-11}}\approx 1{,}41\times 10^{-4}\,\mathrm{m}^2$.
i Por qué importa el campo de ruptura
Si superas $E_{\text{rup}}$, las moléculas del dieléctrico se ionizan, aparece conducción eléctrica y el condensador deja de funcionar (a menudo de forma explosiva). Por eso los condensadores tienen una tensión nominal: la máxima a la que pueden trabajar sin romperse. Diseñas para que el campo de operación esté siempre por debajo del de ruptura.
Bonus Ejemplo combinado · todo a la vez
Este es el problema 6 de la hoja del Tema 2, casi idéntico a uno que cayó en el primer parcial de abril 2024. Combina Tipo 1, Tipo 2 y Tipo 3 en un solo enunciado. Si entiendes este, lo has entendido todo.
Problema combinado · placas paralelas y dieléctricos distintos
Hoja problema 6
Enunciado: dos condensadores idénticos de placas cuadradas de lado $L=10$ cm y separación $d=1$ mm. Se conectan en paralelo y se cargan con una batería de $V=10$ V.
(a) Calcula la carga inicial $q_0$ de cada condensador y la energía total.
(b) Una vez cargados, se desconectan de la batería. En uno se introduce un dieléctrico con $\kappa_1=2$; en el otro, uno con $\kappa_2=3$. Se vuelven a unir en paralelo. Calcula la nueva distribución de carga y el voltaje final.
(c) ¿Cuál es la energía final?
Apartado (a) — Tipo 1 simple:
Cada condensador: $C_0=\varepsilon_0 L^2/d=8{,}854\times 10^{-12}\cdot 0{,}01/0{,}001=8{,}854\times 10^{-11}$ F.
Al estar en paralelo, ambos tienen $V=10$ V → $q_0=C_0 V=8{,}854\times 10^{-10}$ C ≈ 0,885 nC.
Apartado (b) — desconectado de la fuente → cada condensador, individualmente aislado, se queda con su $q_0$ inicial. Pero al meter el dieléctrico, su capacidad sube (a $\kappa_1 C_0$ y $\kappa_2 C_0$ respectivamente). Y como están aislados, al volver a unirlos en paralelo se redistribuye la carga (Tipo 3).
Diferencia: $U_0-U_f=8{,}85-3{,}54=5{,}31$ nJ se han perdido. Esa energía se ha invertido en (1) polarizar los dos dieléctricos al meterlos en cada condensador y (2) redistribuir la carga al volver a conectarlos.
Resumen final · formulario para llevar al examen
Si solo te quedan 30 minutos antes del examen, lee esto. Es el destilado de todo el Tema 2.